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Démonstration de la formule de calcul des mensualités d’un crédit immobilier:

Formule

Soit: ta le taux annuel, t le taux mensuel du crédit, C le capital à rembourser, M la mensualité, N\color{blue}{N} le nombre de mois que dure le crédit.

t=ta12{\color{green}t}=\frac{t_a}{12}
M=C×t1−(1+t)−NM=\frac{{\color{red}C} \times {\color{green}t}}{1-(1+{\color{green}t})^{\color{blue}-N}}

Démonstration

Bien que les notions utilisées fassent partie de programme de terminale scientifique le nombre important de variables correspond davantage à un niveau universitaire.

On note:

nn le nombre de mois écoulés

C0C_0 le capital de départ (il est égal à C\color{red}{C})

NN le nombre total de mois

CnC_n le capital restant à rembourser au bout de nn mois

InI_n le montant des intérêts pour le ne`men^{ème} mois (I1I_1est le premier terme de cette suite)

Au bout d’1 mois:

Intérêts: I1=C0×tI_1=C_0\times t

Capital remboursé: M−C0×tM-C_0\times t

Capital restant à rembourser: C1=C0−(M−C0×t)C_1=C_0-(M-C_0\times t)

Au bout de n+1 mois:

Intérêts: In+1=Cn×tI_{n+1}=C_n\times t

Montant remboursé: Cn+1=(1+t)×Cn−MC_{n+1}=(1+t)\times C_n-M

Capital restant à rembourser:

Cn+1=Cn−(M−Cn×t)C_{n+1}=C_n-(M-C_n \times t)
Cn+1=Cn−M+Cn×tC_{n+1}=C_n-M+C_n \times t
Cn+1=(1+t)×Cn−MC_{n+1}=(1+t) \times C_n-M

CnC_n est une suite de la forme Cn+1=aCn+bC_{n+1}=aC_n+b avec a=1+ta=1+t et b=−Mb=-M (suite arithmético-géométrique)

Je cherche xx donc tel que:

x=(1+t)x−Mx=(1+t)x-M
x=x+tx−Mx=x+tx-M
x=Mtx=\frac{M}{t}

Je note VnV_n la suite telle que Vn=Cn−MtV_n=C_n-\frac{M}{t} .

Vn+1Vn\frac{V_{n+1}}{V_n}
=Cn+1−MtCn−Mt=\frac{C_{n+1}-\frac{M}{t}}{C_n-\frac{M}{t}}
=tCn+1−MtCn−M=\frac{tC_{n+1}-M}{tC_n-M}
=t((1+t)Cn−M)−MtCn−M=\frac{t((1+t)C_n-M)-M}{tC_n-M}
=tCn+t2Cn−tM−MtCn−M=\frac{tC_n+t^2C_n-tM-M}{tC_n-M}
=t(tCn−M)+tCn−MtCn−M=\frac{t(tC_n-M)+tC_n-M}{tC_n-M}
=(t+1)(tCn−M)tCn−M=\frac{(t+1)(tC_n-M)}{tC_n-M}
=t+1=t+1

VnV_nest une suite géométrique de raison (1+t)(1+t) et de premier terme (C−Mt)(C-\frac{M}{t}) donc Vn=(C−Mt)(1+t)nV_n=(C-\frac{M}{t})(1+t)^n

Cn=Vn+MtC_n=V_n+\frac{M}{t}
Cn=(C−Mt)(1+t)n+MtC_n=(C-\frac{M}{t})(1+t)^n+\frac{M}{t}
In=Cn−1×tI_n=C_{n-1} \times t
In=((C−Mt)(1+t)n−1+Mt)tI_n=((C-\frac{M}{t})(1+t)^{n-1}+\frac{M}{t})t
In=(Ct−M)(1+t)n−1+MI_n=(Ct-M)(1+t)^{n-1}+M

Si on ajoute tous les intérêts au capital on obtient le total de toutes les mensualités.

C+∑i=1NIn=M×NC+\sum_{i=1}^N{I_n}=M \times N
C+∑i=1N((Ct−M)(1+t)n−1+M)=M×NC+\sum_{i=1}^N{((Ct-M)(1+t)^{n-1}+M)}=M \times N
C+∑i=1N(Ct−M)(1+t)n−1+∑i=1NM=M×NC+\sum_{i=1}^N{(Ct-M)(1+t)^{n-1}+\sum_{i=1}^N{M}}=M \times N
C+∑i=1N(Ct−M)(1+t)n−1+∑i=1NM=M×NC+\sum_{i=1}^N{(Ct-M)(1+t)^{n-1}+\sum_{i=1}^N{M}}=M \times N
C+(Ct−M)∑i=1N(1+t)n−1+M×N=M×NC+(Ct-M)\sum_{i=1}^N{(1+t)^{n-1}+M \times N}=M \times N
C+(Ct−M)∑i=1N(1+t)n−1=0C+(Ct-M)\sum_{i=1}^N{(1+t)^{n-1}}=0

J’utilise la formule de la somme des n−1n-1 premiers termes d’une suite géométrique pour la suite de premier terme 1 et de raison (1+t)(1+t)

C+(Ct−M)1−(1+t)N1−(1+t)=0C+(Ct-M)\frac{1-(1+t)^N}{1-(1+t)}=0
C+(Ct−M)1−(1+t)N−t=0C+(Ct-M)\frac{1-(1+t)^N}{-t}=0
−Ct+(Ct−M)(1−(1+t)N)=0-Ct+(Ct-M)(1-(1+t)^N)=0
−Ct+Ct−Ct(1+t)N−M(1−(1+t)N)=0-Ct+Ct-Ct(1+t)^N-M(1-(1+t)^N)=0
−Ct(1+t)N+M((1+t)N−1)=0-Ct(1+t)^N+M((1+t)^N-1)=0
M=Ct(1+t)N(1+t)N−1M=\frac{Ct(1+t)^N}{(1+t)^N-1}
M=Ct(1+t)N(1+t)N(1−1(1+t)N)M=\frac{Ct(1+t)^N}{(1+t)^N(1-\frac{1}{(1+t)^N})}
M=Ct1−1(1+t)NM=\frac{Ct}{1-\frac{1}{(1+t)^N}}
M=Ct1−(1+t)−NM=\frac{Ct}{1-(1+t)^{-N}}

Démonstration de la formule de calcul des mensualités d’un crédit immobilier